კოსინუსების თეორემა

სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ ორიი გვერდისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი
ანუ მივიღეთ რა? განვიხილოთ ერთ-ერთი სამკუტხედი მაგალიტად ეს:

კოსინუსების თეორემიდან გამომდინარეობს რომ სამკუთხედ ABC ში a²=b²+c²-2ab * cosA.

დამტკიცება

მოცემული სამკუტხედი საკორდინატო სიბრტყეს დავუკავშიროთ ____ კორდინატთასათავედ A წერთილი მივიჩნიოთ, x ღერძის დადებით ნახევარღერძი AC გვერდზე გადიოდეს. სამიშემტხვევა შეიზლება წარმოგვიდგეს: <A=90*, <A<90* და <A>90* .

==============================================================================

ამ შემთხვევაში პიტაგორას თეორემის თანახმად, a²=b²+c². რადგან cosA=0, ამიტომ ვღებულობთ: a²=b²+c²-2ab * cosA სადაც 2ab * cosA=0 ამიტომ დაგვჩება a²=b²+c²
==============================================================================

ცხადია, x=c*COSA და y=c*SINA. (1)

ვიყენებთ ორ წერტილს შორის მანზილის ფორმულას და ვგებულობთ, რომ B და C წერტილებს შორის მანძილის კვადრატი ანუ

a²=(x-b)²+(y-0)²;

ჩავსვათ X ისა და y ის მნიშვნელობები

a²=(c*cosA-b)²+(c*sinA)²

a²=c²*cos²A-2bc*cosA+b²+c²sin²A (2)

a²=c²(sin²A+cos²A)+b²-2bc*cosA; ""პ.ს: sin²A+cos²A=1"" ამიტომ დაგვრჩება

a²=b²+c²-2ab * cosA

==============================================================================

ამ შემთხვევაში,

x=-c*cos<DAB=-c*cos(180-<A)=c*cosA;

y=c*sin<DAB=c*sin(180-<A)=c*sinA

გამოვიდა რომ ბლაგბი A კუთხის შემთხვევაშიც x და y კვლავ (1) სახის ფორმულით მოიცემა. მათი გამოყენება კი (2) ფორმულამდე მიგვიყვანს და მივიღებთ:

a²=b²+c²-2ab * cosA

მემგონი ეს სტატია გამოსადეგია და ბევრს დაეხმარება გისურვებთ წარმატებას